\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{mathrsfs} % 用于\mathscr命令
\usepackage{amsfonts} % 用于数学符号字体
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	经典场论的笔记
	\section{描述场的状态}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fields1}
		\caption
		{
			a. 经典力学中，系统的状态由粒子的位置和动量描述；
			b. 场论中，系统的状态由各处的场及其各阶偏导描述
			（当然在纸面上是画不出四维时空的）
		}
		\label{fig:fields1}
	\end{figure}
	
	\footnote
	{
		参考：
		David Tong QFT， 
		Peskin et al 《量子场论导论》 \textsl{(但却是经典场论的笔记！)}， 
		https://zhuanlan.zhihu.com/p/375585002 。
		使用AI辅助。}
	首先我们先来定义标量场。标量场$\phi$可由一个关于时空坐标的标量函数描述，
	它的输入是时空坐标$(t,x,y,z)^T$，
	输出是一个标量，代表该时空坐标处的场值：
	\begin{equation}
		\phi = \phi(t,x,y,z)=\phi(x^\mu)
	\end{equation}
	其中使用指标记号$x^\mu$缩写了$(ct,x,y,z)$。
	由于场论使用了狭义相对论，而狭义相对论的Lorentz变换认为时空一体化，因此我们使用$x^\mu$同时代表时刻与空间坐标。
	为了描述场系统，我们需要知道在时空各处的场及其各种偏导：
	$$
	\left\{\phi, \frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}, \pdv{\phi}{x}, \pdv{\phi}{y}, \pdv{\phi}{z} \right\}
	\qquad \{ \phi, \partial_\mu \phi \}
	$$
	其中$\phi, \partial_\mu \phi$代表场及其各类偏导。
	由于场在时空中的每一点$x^\mu=(ct,x,y,z)^T$处均有定义，而时空又有无数的点，因此我们实则要描述无数个$\phi$，每个 $\phi$ 都代表时空中一点处的场
	\footnote
	{
		从隔壁相对论电动力学笔记复制过来的。举一个不太准确的例子，假设我们尝试“列举出 $\phi$ 的几项”：
		$$
		\{ 
		\phi(t_0,x_0,y_0,z_0),
		\phi(t_1,x_1,y_1,z_1),
		\phi(t_2,x_2,y_2,z_2),
		\ldots
		\}
		$$
		这些分别表示时空中不同点处的场。显然，由于时空中有无数个点，我们可以无穷无尽地将这个列表列下去。
		然而，由于实数集是“连续的无穷”，即不可数的无穷，这个列表即使有无限长也不可能列举出所有的 $\phi$！
	}等。
	因此，有人将场称为具有“无穷自由度”的系统。
	
	\newpage

	\section{场的分析力学；场的Euler-Lagrange方程}
		\subsection{场的Lagrange密度与作用量}
		然后我们定义场的Lagrange密度$\mathscr{L}$，
		某处场的Lagrange密度由该处的场$\phi$及其微分$\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t},\pdv{\phi}{x},\pdv{\phi}{y},\pdv{\phi}{z}$确定：
		\begin{equation}
			\mathscr{L} = \mathscr{L} \left [ \phi,\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t},\pdv{\phi}{x},\pdv{\phi}{y},\pdv{\phi}{z} \right ] = \mathscr{L} \left [\phi, \partial_\mu \phi \right ]
		\end{equation}
		其中使用$\partial_\mu \phi$缩写了对$\phi$的各种求导。
		某处的$\mathscr{L}$密度由该处场与其各种导数确定，其不显含时刻坐标$x^\mu$，也不显含其他处的场量，
		这体现了相对性原理和局域性原理。
		由于场在空间中处处有定义，因此某种意义上，我们可以建立与场对应的Lagrange密度场。
		
		然后我们定义作用量$S$。作用量$S$是一定时空区域内Lagrange密度的积分：
		\begin{equation}
			S = \int \mathscr{L} \dd t \dd x \dd y \dd z = \int \mathscr{L} \dd[4] x
		\end{equation}
		有时也称Lagrange量 $L = \int \mathscr{L} \dd x \dd y \dd z$，那么$S = \int L \dd t $，这与分析力学中的定义一致。
		
		\subsection{场的最小作用量原理；场的Euler-Lagrange方程}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{fields2}
		\caption{场的动力学规律同样遵循最小作用量原理，即场的运动路径使得全程作用量最小（示意图，数据为随机生成）}
		\label{fig:fields2}
	\end{figure}
	
	和分析力学一样，场也遵循最小作用量原理，即场的动力学规律使全程作用量最小：
	\begin{equation}
		S = S_{\mathrm{min}} \Rightarrow \delta S = 0
	\end{equation}
	随后我们从最小作用量原理推导场的Euler-Lagrange方程，方法仍然是对作用量取变分。
	类似地，我们保持场的始末状态与边界不变，只在内部轻微变化场及其导数$\delta \phi, \delta (\partial_\mu \phi)$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S 
			&= \delta \int \mathscr{L} \dd t \dd x \dd y \dd z \\
			&= \int \delta \mathscr{L} \dd t \dd x \dd y \dd z \\
			&= \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi 
			+ \pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} \delta (\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t})
			+ \pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{x}} \delta (\pdv{\phi}{x})
			+ \pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{y}} \delta (\pdv{\phi}{y})
			+ \pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{z}} \delta (\pdv{\phi}{z})
			) \dd t \dd x \dd y \dd z \\
			&= \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi 
			- \frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}~(\pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} ) \delta \phi
			- \pdv{}{x}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{x}} ) \delta \phi
			- \pdv{}{y}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{y}} ) \delta \phi
			- \pdv{}{z}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{z}} ) \delta \phi\\
			& \qquad 
			+ \frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}~(\pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} \delta \phi) 
			+ \pdv{}{x}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{x}} \delta \phi) 
			+ \pdv{}{y}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{y}} \delta \phi) 
			+ \pdv{}{z}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{z}} \delta \phi) 
			) \dd t \dd x \dd y \dd z \\
			& = \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi}
			- \frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}~(\pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} ) 
			- \pdv{}{x}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{x}} ) 
			- \pdv{}{y}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{y}} ) 
			- \pdv{}{z}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{z}} ))\delta \phi \dd t \dd x \dd y \dd z \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	和分析力学一样，关键步骤仍在于凑全微分；
	其中
	$
	\int (\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}~(\pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} \delta \phi)+...) \dd t \dd x \dd y \dd z
	$
	的项由始末状态与边界确定，对于变分而言是常数，可以忽略；
	为了方便理解，可以把$\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}$等作为一个整体视为变量；
	老生常谈，由于$\delta \phi$是任意的，因此想要$\delta S = 0$，就有
	\begin{equation}
		\pdv{\mathscr{L}}{\phi}=
		\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}~(\pdv{\mathscr{L}}{\frac{1}{c}\pdv{\phi}{t}} ) 
		+\pdv{}{x}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{x}} ) 
		+\pdv{}{y}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{y}} ) 
		+\pdv{}{z}~(\pdv{\mathscr{L}}{\pdv{\phi}{z}})
	\end{equation}
	使用指标记号和Einstein求和约定，上式被压缩为
	\begin{equation}
		\boxed
		{
			\partial_\mu \left ( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \right )
			=
			\pdv{\mathscr{L}}{\phi}
		}
	\end{equation}
	这就是场的Euler-Lagrange方程。
	
	训练有素的雾理人看到这么一大坨分量表述下的偏微分就破防了，
	所以以下我们将公式压缩为指标记号再推导：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S 
			&=  \int \delta  \mathscr{L} \dd[4] x\\
			&= \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi + \pdv{\phi}{(\partial_\mu \phi)} \delta \partial_\mu \phi) \dd[4] x\\
			&= \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi 
			- \partial_\mu (\pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)}) \delta \phi 
			+ \partial_\mu (\pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi)
			) \dd[4] x\\
			& = \int (\pdv{\mathscr{L}}{\phi} - \partial_\mu (\pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)})) \delta \phi \dd[4] x
		\end{aligned}
	\end{equation}
	同样得到了
	\begin{equation}
		\partial_\mu \left ( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \right )
		=
		\pdv{\mathscr{L}}{\phi}
	\end{equation}
	耶！
	
	\newpage
	\section{场的Noether定理}
	“对称导致守恒”的Noether定理同样适用于场论。
	在历史上，Noether可能是先从场系统中看出了Noether定理。
	假设存在一个场系统$\phi$，其Lagrange密度为$\mathscr{L}$；
	现在我们轻微改变这场系统，使其变为$\phi^{(2)} = \phi + \delta \phi$，
	那么$\phi^{(2)}$的 Lagrange 密度可表述为$\mathscr{L}^{(2)} = \mathscr{L} + \delta \mathscr{L}$。
	我们指出，若场 $\phi$ 轻微变化前后 Lagrange 密度的变化为$\delta \mathscr{L} =0$或$\delta \mathscr{L} = \partial_\mu F^\mu$ 	\footnote
	{
		正如在经典分析力学中$L$可以加上一函数关于时间的全导数项$\dv{}{t}F$而不改变物理规律，
		在场论中$\mathscr{L}$也可以加上一组函数的四维散度$\partial_\mu F^\mu$而不改变物理规律。
		理由也是类似的：$\partial_\mu F^\mu $相当于为作用量加上常数，这不影响作用量的变分：
		$$
		S^{(2)} = \int (\mathscr{L}+\partial_\mu F^\mu) \dd^4 x
		= \int \mathscr{L} \dd^4 x + \int (\partial_\mu F^\mu) \dd^4 x
		= \int \mathscr{L} \dd^4 x + C
		= S + C
		$$
		由于场的动力学规律由最小作用量原理从作用量中导出，因此作用量相同意味着物理规律相同。
	}，即这一变换不改变场的运动规律，那么说明场存在关于这种变换的对称性：
	\begin{equation}
		\text{对称性} 
		\qquad \phi \to \phi + \delta \phi
		~~\text{such that }~~
		\mathscr{L} \to \mathscr{L} + \partial_\mu F^\mu
	\end{equation}
	我们假设这一对称性的成立，并继续展开 $\delta \mathscr{L}$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta \mathscr{L} 
			&= \pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi + \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta (\partial_\mu \phi) \\
			&= \pdv{\mathscr{L}}{\phi} \delta \phi 
			+ \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi \right) 
			- \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \right) \delta \phi \qquad \text{凑全微分}\\
			&= \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi \right)\qquad \text{由于Euler-Lagrange方程，1,3项抵消}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	再结合上文的对称性$\delta \mathscr{L} = \partial_\mu F^\mu$，我们得到一个守恒律：
	\begin{equation}
		\text{守恒律}
		\qquad
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi  -F^\mu\right)=0
	\end{equation}
	由此，我们得到了场系统中联系对称与守恒的Noether定理：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}~
		\phi \to \phi + \delta \phi
		~~\text{such that }~~
		\mathscr{L} \to \mathscr{L} + \partial_\mu F^\mu
		\Rightarrow 
		\text{守恒律：}~
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi  -F^\mu\right)=0
	\end{equation}
	如果进一步改写守恒律的形式，
	\begin{equation}
		\partial_\mu j^\mu = 0 \qquad j^\mu = \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \delta \phi  -F^\mu
	\end{equation}
	我们发现，场论中守恒律被进一步细化为守恒荷（$j^0$）与相应的守恒流（$j^1,j^2,j^3$）。
	
	\newpage	
	\section{应用Noether定理：时空平移对称性与场的能量-动量守恒律}
	场论的一个重要特性是$\mathscr{L}=\mathscr{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$不显含时空坐标，
	这种时空均匀性直接暗示了场系统具有时空平移对称性。
	某种意义上，时空均匀性在场论中的体现比在经典分析力学中的更为明显。
	
		\begin{figure}[h]
			\centering
			\includegraphics[width=0.3\linewidth]{field_shift}
			\caption{示意图：平移场系统}
			\label{fig:fieldshift}
		\end{figure}
		
	\subsection{方法一}
	（David Tong的做法） 仿照分析力学中从空间平移不变性推导动量守恒的做法，
	我们想象将场$\phi$在时空中整体平移一小段“距离”并得到了一个新的场系统$\phi^{(2)}$，
	这种平移导致的场的变化$\delta \phi$是：
	\begin{equation}
		\phi^{(2)} (x^\nu) = \phi (x^\nu + (\delta \epsilon)^\nu ) \approx \phi(x^\nu) + (\partial_\nu \phi) (\delta \epsilon)^\nu
		\Rightarrow
		\delta \phi = (\partial_\nu \phi) (\delta \epsilon)^\nu
	\end{equation}
	Lagrange密度也应相应平移，$\delta \mathscr{L}$是：
	\begin{equation}
		\mathscr{L}^{(2)} = \mathscr{L} + (\partial_\nu \mathscr{L}) (\delta \epsilon)^\nu
		\Rightarrow
		\delta \mathscr{L} = (\partial_\nu \mathscr{L}) (\delta \epsilon)^\nu
	\end{equation}
	$\mathscr{L}$相差了关于一组函数的四维散度$\partial_\nu F^\nu = (\partial_\nu \mathscr{L}) (\delta \epsilon)^\nu$，
	根据Noether定理，这种对称性导致的守恒律是：
	\begin{equation}
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} ~(\partial_\nu \phi)~ (\delta \epsilon)^\nu  -\mathscr{L} (\delta \epsilon)^\mu \right)=0
	\end{equation}
	令$(\delta \epsilon)^\mu = g^\mu_\nu \delta s$，即分别取$\delta \epsilon = (1,0,0,0)^T\delta s, (0,1,0,0)^T\delta s,...$、让场在时空方向的各个上平移，那么
	\begin{equation}
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu \mathscr{L} \right) \delta s=0 
		\Rightarrow
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu \mathscr{L} \right) =0 \qquad \nu=0,1,2,3
	\end{equation}
	这4个方程分别意味着场的1个能量守恒（时间平移）与3个动量守恒（空间平移）。
	
	\subsection{方法二}
	（Landau的做法） 仿照分析力学中从时间平移不变性推导能量守恒的做法，我们直接对$\mathscr{L}$求四维散度：
	\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\partial_\nu \mathscr{L} 
		&= \pdv{\mathscr{L}}{\phi} \partial_\nu \phi + \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu (\partial_\mu \phi) \\
		&= \pdv{\mathscr{L}}{\phi} \partial_\nu \phi 
		+ \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi \right) 
		- \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \right) \partial_\nu \phi \qquad \text{凑全微分}\\
		&= \partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi \right)\qquad \text{由于Euler-Lagrange方程，1,3项抵消}
	\end{aligned}
	\end{equation}
	其中第一步中运用链法则展开$\mathscr{L}$时，已经使用了$\mathscr{L}$不显含时空坐标的条件。
	这个恒等式意味着以下方程恒成立
	\begin{equation}
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu \mathscr{L} \right) = 0 \qquad \nu = 0,1,2,3
	\end{equation}
	\footnote
	{
		为保证$\partial_\nu \phi$只被加了一次，我们需要引入混变的度规矩阵$g^\mu_\nu$，在场论中混变的$g$相当于$\delta=\mathrm{diag}(1,1,1,1)$。
		例如，$b_j = \sum_i(a_i) \Rightarrow a_1+a_2+a_3-b_j = 0 \Rightarrow \sum_i(a_i - \delta_{ij}b_j) = 0$	。
	}
	这4个方程分别意味着场的1个能量守恒（时间平移）与3个动量守恒（空间平移），和上述直接推导的结果一样。

	\newpage
	\section{推广至4-向量场}
	我们先前描述了标量场的基本理论，接下来我们将其推广至4-向量场，
	如果时空中每一点处都存在一个相应的4-向量，那么我们就可以定义相应的4-向量场，这有点类似矢量场的推广：
	\begin{equation}
		A^\mu = A^\mu (x^\nu), \qquad \mu,\nu = 0,1,2,3
	\end{equation}
	（$\mu, \nu$是自由标，各自独立从$0$取到$3$）
	4-向量场或许可以理解为四个标量场的耦合，即每一个分量都是一个标量场：
	\begin{equation}
		A^\mu = A^\mu (x^\nu)
		\Rightarrow
		\begin{cases}
			A^0 = A^0(t,x,y,z)\\
			A^1 = A^1(t,x,y,z)\\
			A^2 = A^2(t,x,y,z)\\
			A^3 = A^3(t,x,y,z)
		\end{cases}
	\end{equation}
	但要小心，这个理解并不准确-- 4-向量场的四个分量凑在一起可不是平白无故的，
	在改变参考系时，其将作为一个整体参与Lorentz变换，具体参考隔壁笔记。
	4-向量场的Lagrange密度由这4个分量场及其各类导数确定，一共有$4+4 \times 4 = 20$项，因此不全部列出：
	\begin{equation}
		\mathscr{L} = \mathscr{L}(A^\nu, \partial_\mu A^\nu) = \mathscr{L}(A^0,A^1,A^2,A^3,\partial_0 A^0, \partial_1 A^0,\cdots)
	\end{equation}
	4-向量场的Euler-Lagrange方程也应相应推广，每个分量场对应一个Euler-Lagrange方程，所以一共导致4个方程：
	\begin{equation}
		\partial_\mu \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu A^\nu)} = \pdv{\mathscr{L}}{A^\nu} \qquad \nu = 0,1,2,3
	\end{equation}
	对于单个$A^\nu$的Euler-Lagrange方程，
	其中的项如同$\pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu A^\nu)}$等依然是同时关于4个分量场及其导数的。
	因此，4-向量场各个分量的运动实则密不可分，浑然一体。
	相应的Noether守恒律会增加对四个分量场的求和：
	\begin{equation}
		\text{守恒律}
		\qquad
		\partial_\mu \left( \pdv{\mathscr{L}}{(\partial_\mu A^\nu)} \delta A^\nu  -F^\mu\right)=0
	\end{equation}
	敷衍地说，当我们为$A$添加上标使其从标量场升级为4-向量场时，Einstein求和规则自动帮我们完成了这一步；
	严肃一点地说，这是因为我们推导Noether定律时，需要将$\delta L$写为各个场变化$\delta A^\nu$及其导数变化的和，刚好导致一次求和。
	

\end{document}
